论「重伤华尔街的数学模型」一文[程序化要闻]

论「重伤华尔街的数学模型」一文

在金融海啸成型，并造成经济衰退时，网路流传一篇媒体报导名为「重伤华尔街的数学模型」的文章
(内容可参考http://news.epochtimes.com.tw/9/3/13/107489.htm或http://tw.myblog.yahoo.com/jw!77k8Nm.CAES5kcLoh_95iA--/article?mid=2175)，报导内容如下：

[b]「在利益驱使下，华尔街大量运用一个充满争议的数学模型，被认为是导致整个市场崩溃的原因之一。」

【记者吴英／综合外电编译】自金融危机以来，媒体、学术界及政治人物都在寻找导致华尔街灾难的「真凶」，2月底《Wired》月刊发表了记者沙尔蒙（F. Salmon）题为〈灾难的处方──摧毁华尔街的公式〉（Recipe for Disaster-The Formula That Killed Wall Street）的文章，认为投资人在不了解数学公式背后的假设的情况下，滥用统计学博士李祥林（David X. Li）开创的一个用以评估违约相关性的公式，是导致全球金融危机连锁骨牌效应的祸首。

这个充满争议的数学公式的首创人李祥林，1960年代出生于中国江苏的连云港，拥有南开大学经济学硕士、加拿大滑铁卢大学（University of Waterloo）统计学博士学位。

2000年当时还在摩根大通（JP Morgan Chase）任职的李祥林在《固定收入期刊》（The Journal of Fixed Income）发表了〈联结函数的违约相关分析〉（On Default Correlation: A Copula Function Approach）的论文。这篇论文中以简易的数学建构违约相关性的模型，刺激了信贷衍生债券市场的爆炸性发展，带动一种新兴衍生金融工具「信贷违约掉期」（CDS, Credit Default Swaps）。

自此债券投资者、金融界、评级机构以及监管者大量运用李的模型，但却忽略了李对该模型有所限制的警告，终致失灵并因此付出可怕的代价。

李祥林从事的研究是确定资产间的相关性，或称之为一些独立事件的相关性，并以简单和规范的数学模型计算，称之为「高斯－联结相依函数」（Gaussian copula function）。该函数可说是金融界的突破，以相对简易的数学公式计算複杂的金融商品间的风险相关性。

沙尔蒙在文中以简单的例子说明李祥林模型有关「相关性」的基本概念。假设一名就读国小的女孩艾莉丝，其父母离异、得到头虱、看到老师踩到香蕉皮滑倒、以及赢得班上拼字比赛冠军的机率都是5％，而所有投资客如果决定债券交易的价格都是以上述机率为基准时，那麽他们的价格或多或少会是一样的。

然而，如果再加上一名坐在艾莉丝旁边的芭比，那麽情况就不一样了。举例来说，芭比父母离异是否会影响艾莉丝父母离异的机率，答案是艾莉丝父母离异的机率还是5％，因此二者的相关性为零。另外，如果芭比得到头虱，艾莉丝得到头虱的机率可能高达50％，也就是二者的相关性可能达0.5。再者，芭比 看到老师踩到香蕉皮滑倒，艾莉丝也看到的机率可能高达95％，因为她们俩人坐在一起，所以相关性接近1。而如果芭比在班上得到拼字比赛冠军，表示艾莉丝赢得冠军的机率是0，二者的相关性为负1。因此如果投资者是以上述的情况作为决定交易债券价格的参考时，价格的变化就大多了。

沙尔蒙在文中指出，一个看似简单的计量模型之所以对金融界带来如此毁灭性的原因在于，美国房贷债券市场高达11兆美元，投资者通常投资成千上万不同的房贷债券。每个债券现金流量、违约率及提前偿还的机率都不一样，毫无规律可循，彼此之间的相关性更是複杂无比。( cxh99.com )

但金融界利用李祥林的「高斯－联结相依函数」，将原本已经很複杂的资产，进行切割（tranching），成为风险等级与投资报酬率不同的金融商品，然后推算出各个切割后不同部分（tranche）的风险相关性，并以此算出他们的价格。

这一计价模型仅根据过去几年金融商品的市场价格，就推算出一个相关性数据，而且假设这个相关性会永久维持不变。然而，过去几年是房地产市场的牛市（bull market），房屋价格不断上涨，所有华尔街的投资银行家、交易员或风险基金管理人都忽略了房价可能下跌的现实，也就是说低估了许多金融商品的风险，高估了这些商品的价格。

李祥林早在2005年接受《华尔街日报》採访时就表示，「很少人了解这个模型的本质」。
其实早有许多市场分析师提出警告，但整个市场处于利益追逐的疯狂状态，大批不了解数学公式背后假设的管理人员，在利益的驱使下，将李祥林的公式四处滥用，而且衍生出越来越複杂的金融商品，一旦基本假设条件改变，整个市场就此崩溃。

正如李祥林对自己开创的模型的评价：「最危险的部分是，人们相信模型推算出的所有数据。」
虽然他设计的模型导致了华尔街金融危机，但李祥林格外低调，在美国很少有关于他的报导。据了解，他在2008年回到中国大陆，担任中国国际金融公司（China International Capital Corporation，CICC）风险管理部门主管。

虽然，李祥林充分了解自己模型的缺点，但还是令人好奇，他将如何利用一个失败的模型管理CICC的风险。[/b]

媒体一向喜欢哗众取宠，下「重口味」的标题，实情又如何呢?

把所有的过错都推给一个人的一篇文章，是否公平，或者太抬举了呢?(事情发生了就找替死鬼(反正都是他的错)，共犯就可逃之夭夭，而一般人也可以安心睡觉)。

为了一探究竟，我特别到网路上把该篇罪魁祸首的文章(On Default Correlation: A Copula Function Approach)找出来，并大致研读了一下，考虑到本论坛的特性，我尽量用比较不学术的语言简单叙述其内容，并作评论。

这篇文章主要是提出一种计算资产组合违约风险的一般化模型，其实用变异与共变异的方式处理资产间的违约风险，老早就有了(此作法若要溯源，其实就是1952年Markowitz的投资组合理论中计算投组市场风险的作法，关于Markowitz模型的问题以后再谈)。

李祥林只不过将之「一般化」以扩大应用罢了。一般化系学术研究的习惯，例如爱因斯坦就把牛顿力学一般化，也就是提出新模型，让原来的典范模型变成一种特殊状况，新模型当然就更放诸四海萝。关于这点可以参考论文最关键的一段话：

「
We can conclude that CreditMetrics uses a bivariate normal copula function with the asset correlation as the
correlation parameter in the copula function. Thus, to generate survival times of two credit risks, we use
a bivariate normal copula function with correlation parameter equal to the CreditMetrics asset correlation.
We note that this correlation parameter is not the correlation coefficient between the two survival times. The
correlation coefficient between the survival times is much smaller than the asset correlation. Conveniently,
the marginal distribution of any subset of an n dimensional normal distribution is still a normal distribution.
Using asset correlations, we can construct high dimensional normal copula functions to model the credit
portfolio of any size.

 译文：我们可以得出这样的结论：CreditMetrics模型使用二维正态Copula函数与资产相关的
在Copula函数的相关参数。因此，我们使用的是产生2个信用风险的生存时间
双变量正态Copula函数和相关参数等于风险资产相关性。
我们注意到，这种相关参数是不相关系数之间的生存时间。这个
生存时间的相关系数比资产相关性小得多。方便，
正态分布的任意子集的边缘分布仍为正态分布。
利用资产的相关性，我们可以构造高维正态Copula函数模型的信用
任何规模的投资组合。
」

看到没有，在李祥林之前，CreditMetrics就已经在用了。

换言之，你可以说李助纣为虐，却不能说他是始作俑者。

再则，批评他助纣为虐也太过，本来所有的风险模型都是依据过去的资料与统计假设，问题来了「过去的风险结构可能会变」(且有时候，甚至大部份时候，风险结构变化对于因此形成的最适资产组合还满敏感的，以后再谈；但你不依据历史资料有能依据甚麽?)，再则，资产走势真的依据常态吗?最近，学者一直在处理「厚尾」与「前后期相关」，就知前提假设大有问题。

因此，我虽不同意报导的部分观点，我倒是接受
「每个债券现金流量、违约率及提前偿还的机率都不一样，毫无规律可循，彼此之间的相关性更是複杂无比」
「这一计价模型仅根据过去几年金融商品的市场价格，就推算出一个相关性数据，而且假设这个相关性会永久维持不变。然而，过去几年是房地产市场的牛市（bull market），房屋价格不断上涨，所有华尔街的投资银行家、交易员或风险基金管理人都忽略了房价可能下跌的现实，也就是说低估了许多金融商品的风险，高估了这些商品的价格。」（ www.cxh99.com ）

「大批不了解数学公式背后假设的管理人员，在利益的驱使下，将李祥林的公式四处滥用，而且衍生出越来越複杂的金融商品，一旦基本假设条件改变，整个市场就此崩溃。」

「最危险的部分是，人们相信模型推算出的所有数据。」

这几句话。

也因此，我们作程式交易要很小心，若「市场结构是会变的」，永续圣杯就难以企求了。

关于此，我会用几篇文章继续申论。