期权Black-Scholes 模型”策略对比分析[程序化新手]

　保护性卖权策略是一种比较简单的避险策略，它是指投资者期初在购买股票的同时，直接购买欧式卖权的保险策略。由于目前我国没有场内期权市场，因此保护性卖权无法实施，不过通过期权复制的思想可以间接实施该策略。

　　1973 年 ，Fischer Black 与 Myron Scholes 发表了关于期权定价模型的经典文章———《The Priceing Of Options And Corporate Liabilities》，提出了具有划时代意义的期权定价模型———“Black-Scholes 模型”(简称BS)。同年,芝加哥期权交易所开始进行期权交易。 自此之后，期权市场及其他金融衍生工具市场便蓬勃发展起来。 现在全球衍生产品市场的规模已经超过了国际银行间市场及股票市场，其庞大的交易规模以及快速的增长,充分说明了这一市场在当前金融市场中的重要地位。

　　BS公式的推导中使用了对冲的概念，在实际交易中，使用对冲手段来消除标的资产的价格风险敞口是很有必要的。此外，我们也需要用对冲来隔离波动率敞口。廉价且有效的对冲手段的重要性不言而喻，成功的对冲是以最小的成本移除尽可能多的风险。

　　非系统对冲方法

　　不同交易员都有各自的方法来决定什么时候调整对冲头寸，在期权定价理论之后很长一段时间内，对冲都没有被定量化，因此早期的对冲策略都属于非系统化对冲。

　　(一)以固定的时间间隔进行对冲

　　最简单的对冲策略就是在固定的时间间隔进行对冲。在每个时段的末尾，执行交易以保证组合的总Delta值为0(由于受到交易单位为离散值的限制，Delta值尽可能接近于0)。这个办法实施起来比较简单，而且易于理解，但是在选择对冲的时间间隔时显得有些随意。很显然，提高对冲频率可以降低风险，但反之，降低对冲频率可以降低成本。

　　(二)对冲至一个Delta带

　　这种方法首先应该确定一个固定的能容忍的Delta敞口，当Delta超过这个数值时，交易员就进行对冲。这个Delta带就是一个无需对冲的区间。交易员需要主观确定这个Delta区间的大小，且确定的Delta区间不是固定不变的，而是取决于期权头寸。因此这个方法需要随时进行调整才能实现。

　　(三)根据标的资产价格变化来对冲

　　使用这个策略的时候，交易员在标的资产价格变化到一定量之后，才对Delta进行相应的调整。但是此方法需要主观确定适合触发平衡的价格变化量，以及刻画价格变化指标的选择，如百分比变化、绝对价格变化、重要的技术水平、隐含波动率、历史波动率等。 {来源 WWW.CXH99.COM }

　　基于效用最大化的对冲方法

　　对冲实际上必须在降低风险和产生成本两者之间进行权衡。经济学家研究类似的权衡问题时，通常会使用效用的概念，作为在不同方法之间进行比较和选择的框架基础。

　　效用最大化策略试图寻求一种全局最优的对冲策略。其做法是，首先为对冲策略定义一个效用函数，然后最大化该效用函数的期望值来确定具体的对冲策略的参数。

　　(一)效用理论

　　效用理论是领导者进行决策方案选择时采用的一种理论。经济学将市场参加者的风险偏好分为三类：风险厌恶、风险爱好和风险中性。

　　对交易员来说，合理的效用函数最重要的是：(1)函数曲线的斜率为正，因为钱总是越多越好;(2)函数是向下凹的，因为当交易涉及更多的金额时，交易员会逐渐变得厌恶风险。可以通过Arrow-Pratt绝对风险厌恶系数来量化风险厌恶的程度。

　　(二)Hodges-Neuberger方法

　　Hodges和Neuberger采用指数效用函数，利用随机控制中求效用最大化的方法对期权进行定价，得到一个无需对冲的区间。当对冲头寸低于无需对冲区域的下线时，必须买进标的股票使之达到该下线值;反之，如果对冲头寸高于无需对冲区域的上限时，需卖出标的股票使之等于该上限值;当对冲头寸处于无需对冲区域时则不进行任何交易。

　　关于这个无需对冲的区间：1.空头和多头要区别对待，用不同的方法对冲。空头的对冲带要更窄一些，即对空头头寸的对冲更为保守。2.最优的Delta对冲带未完全覆盖BSM模型中的Delta。在交易成本存在的情况下，由BSM得到的完美对冲头寸量是需要调整的。

　　遗憾的是，该方法的估计等式没有解析解，而即使是数值求解也非常的复杂，因此在实践中难以实施。

　　(三)Whalley-Wilmott的渐进解

　　Whalley和Wilmott(1997)在假设交易成本相对于BSM公式中的期权价格而言很小的情况下，通过对最优系统的渐进分析，提出一个相对容易实行的对冲算法。他们采用的是Global-in-time方法，即通过提供一个决策规则，在每个时间瞬间监控股价并决定是否进行对冲头寸调整，解决因连续交易而带来的交易成本问题。

　　渐进分析的结果是，得到一个相对简单的用以计算无需对冲区域的公式。

　　(四)Zakamouline的双渐进解

　　Zakamouline(2006)研究了基于效用的对冲策略的特性，并提出了一个对冲策略公式，他能够保持Hodges-Neuberger模型最重要的特性。这个对冲带不是以BSM Delta为中心的，而是根据修正后的波动率计算出的BSM Delta为中心的。对于深度价外期权而言，对冲带的宽度也不等于0，这与Hodges-Neuberger模型的精确数值解的结果一致。

　　蒙特卡罗模拟介绍

　　蒙特卡洛(Monte Carlo)方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数(或更常见的伪随机数)来解决很多计算问题的方法，以是否在计算机上使用为重要标志，因此，它虽然属于计算方法，但又与一般计算方法有很大区别。它将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现随机抽样或统计模拟，以获得问题的近似解。

　　金融市场上的金融创新、金融自由化和金融全球一体化促使了期权等主要金融衍生品的品种变得越来越多样化，同时各类客户对金融工具的个性化需求也越来越多，新型奇异衍生产品迅速发展起来，以期权定价理论为基础的实物期权方法也越来越受到重视，这些发展动向，使得金融市场迫切需要一种强有力的数学工具来解决金融衍生品的定价问题。

　　根据现有的金融资产定价理论，除了少数一些简单衍生证券的价格可以得到比较简单的理论计算公式以外，绝大部分期权价格则必须通过数值分析方法来加以确定。因此，数值分析方法就成为解决衍生证券定价问题的十分必要的手段。

　　利用蒙特卡洛模拟股票生成路径对冲

　　我们选取初始股票价格为240.45，无风险利率为3%，波动率为15%，交割价格为240.45，对其采取每天对冲一次，模拟一万次。下表为我们选取每日固定对冲一次的方法，不同的VAR得到的不同模拟对冲结果：

　　对其采取区间对冲，取值区间变换超过0.3时才对冲，模拟一万次。下表为我们选取区间对冲的方法，不同的VAR得到的不同模拟对冲结果

　　通过以上两个表格，我们得出通过区间对冲的成本明显高于每日对冲成本，分析其原因得知：虽然通过区间对冲降低了交易手续费，但是在对冲精度方面也降低了，而且交易成本占整个的对冲成本的比例很小，所以区间对冲在某些时候并不比每日对冲效果好。

　　总结

　　期权的非系统对冲方法(以固定时间间隔进行对冲，对冲至一个Delta带，根据标的资产价格变化的对冲)有各种缺陷。基于效用最大化的方法Hodges-Neuberger范式从理论上解决了对冲问题，但是在实践中难以实施，于是有了Whalley-Wilmott渐进方法和Zakamouline双渐进方法。本文详细介绍了Whalley-Wilmott渐进方法和Zakamouline双渐进方法的特性。并分别通过Monte Carlo模拟进行动态对冲模拟对比分析了三种方法(以固定时间间隔进行对冲和区间对冲)的对冲效果。实证分析结果表明，以固定时点对冲和区间对冲相比，不能够绝对分清方法优劣。数据显示，区间对冲能够有效减少交易成本，但降低了对冲精度，所以要根据具体情况采用什么方法对冲。

　　后续我们对带有交易成本Delta复制可以继续研究，分别对Whalley-Wilmott渐进方法和Zakamouline双渐进方法进行实证分析，比较各种复制方法的好坏，最终得到最优Delta对冲方法。